[Programmers] 멀쩡한 사각형

 

 

[문제 설명]

 

가로 길이가 Wcm, 세로 길이가 Hcm인 직사각형 종이가 있습니다. 종이에는 가로, 세로 방향과 평행하게 격자 형태로 선이 그어져 있으며, 모든 격자칸은 1cm x 1cm 크기입니다. 이 종이를 격자 선을 따라 1cm × 1cm의 정사각형으로 잘라 사용할 예정이었는데, 누군가가 이 종이를 대각선 꼭지점 2개를 잇는 방향으로 잘라 놓았습니다. 그러므로 현재 직사각형 종이는 크기가 같은 직각삼각형 2개로 나누어진 상태입니다. 새로운 종이를 구할 수 없는 상태이기 때문에, 이 종이에서 원래 종이의 가로, 세로 방향과 평행하게 1cm × 1cm로 잘라 사용할 수 있는 만큼만 사용하기로 하였습니다.
가로의 길이 W와 세로의 길이 H가 주어질 때, 사용할 수 있는 정사각형의 개수를 구하는 solution 함수를 완성해 주세요.

 

가로가 8, 세로가 12인 직사각형을 대각선 방향으로 자르면 총 16개 정사각형을 사용할 수 없게 됩니다. 원래 직사각형에서는 96개의 정사각형을 만들 수 있었으므로, 96 - 16 = 80 을 반환합니다.

 

 

[풀이 과정]

 

대단한 알고리즘이나 해결 로직이 필요하지 않은 문제인듯 하다.

 

이번에도 역시 잘랐을때 버리게 되는 사각형이 몇게나 되는지 그 규칙성을 찾아야 하는 문제다.

 

저번의 풀었던 종이접기 문제와 마찬가지로 이 문제는 Summer/Winter Coding(2019)에 출제된 문제인데 이 대회는 규칙성 찾기를 참 좋아하는 듯하다. 

 

여튼 이번에도 규칙성이다. 경우의 수를 나열해가며 규칙성을 발견하고자 분투하라, 찾을수 없는 규칙은 문제로 출제되지 않는다.

 

눈을 부릅뜨고 찾고자 분투한다면 찾을 수 있다.

 

 

풀기위해선 발견해야할 두가지가 있다.

 

첫번째로는 위의 그림은

이 사각형이 반복되는 구조라는 것을 발견할 수 있다.

 

가로와 세로를 각각 최대공약수로 나누어 버려지는 사각형의 개수를 구한 후 다시 최대공약수를 곱하면 전체에서 버려지는 사각형의 개수를 찾을 수 있다.

 

전체에서 버려지는 사각형의 개수를 구했으니 전체 사각형의 개수를 빼면 답을 구할 수 있다. 

 

그렇다면 두번째로 우리는 최소단위에서 버려지는 사각형의 개수를 구해야 하는데.... 이게 만만치가 않다....

 

뭐... 많은 시행착오를 겪으며 그 규칙성을 발견했으니 그 규칙성은 아래와 같다.

 

사각형의 크기가 N*N인 정사각형의 구조가 아니라면 절단면은 최소 2개의 사각형을 걸치게 된다.

사각형 두개씩 채워가며 양 꼭짓점에 닿는 구조로 이루어져 있다.

 

하지만 높이가 높아서 반대편 꼭짓점에 닿지 못하면 두개의 사각형을 세개로 늘려 반대편 꼭짓점에 닿게끔 한다.

해당 방식으로 사각형의 개수를 순차적으로 늘려간다.

 

우리는 사각형 몇개 단위로 꼭짓점에 닿게하는지는 알고싶지 않다. 알고싶은 것은 버려지는 사각형의 개수일뿐.

 

if w+1 != h:
        unavail = w*2 + (h - (w+1))
    else:
        unavail = w*2

위와 같이 최소단위에서 버려지는 사각형의 개수를 구할 수 있다.

 

def gcd(a,b):
    if a % b == 0:
        return b
    else:
        return gcd(b, a % b)
    
def solution(w,h):
    width = w//gcd(w,h)
    height = h//gcd(w,h)
    
    a, b = max(width, height), min(width, height)
    
    if b+1 != a:
        unavail = b*2 + (a - (b+1))
    else:
        unavail = b*2
        
    return w*h - (unavail*(w//width))